Правильно. Заснуть – этим словом чаще описывают процесс погружения в сон, или сам момент засыпания (засыпать). Я никак не могу заснуть послеУснуть – это слово описывает сам факт пребывания во сне после погружения в сон. Он долго засыпал, но все же уснул Не кричите. Заснуть после принятия лекарства. Заснуть глубоким, тревожным сном. Заснуть, склонившись над книгой. 2. Стать безлюдным; замереть, затихнуть.У глагола уснуть есть и значение 'перестать проявляться; ослабеть, притупиться (о чувстве) '. Можно сказать: Уснула ненависть. Через это современная поэзия крайне эгоистична (или, как предпочитает выражаться Р. Гиль, — эготична). Только у очень немногих, исключительных людей . Помнишь, как зажигали? Или давно вчерашним днём перестала жить ты – что невозможно, ради и лета в душе, ибо когда ты крайне задет, да родное чело не сравнишь с гранитным –. "Уснуть" и "заснуть" - синонимы, они различаются лишь в некоторых специфических словоупотреблениях. Так что вариативно. Существенной разницы междыу этими словами нет. Значение приставок У- и ЗА- здесь одинаковое- завершение действия. Сравните две словарные.
